Đề thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán 2024

Đề thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 2024 - 2025 môn Toán tổ chức thi ngày 25/12/2024 theo chương trình GDPT 2018, chi tiết cụ thể được đăng tải dưới đây.

Đề thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán 2024

Câu 3 (6,0 điểm)
Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Đường thẳng AH cắt lại (O) tại điểm D khác A. Gọi E và F tương ứng là trung điểm các đoạn thẳng AB và AC. Đường thẳng đi qua H và vuông góc với HF cắt đường thẳng BC tại điểm K.

a) Đường thẳng DK cắt lại (O) tại điểm Y khác D. Chứng minh rằng giao điểm của đường thẳng BY và đường trung trực của đoạn thẳng BK nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác OFY.

b) Đường thẳng đi qua H và vuông góc với HE cắt đường thẳng BC tại điểm L. Đường thẳng DL cắt lại (O) tại điểm Z khác D. Gọi M,N và P tương ứng là giao điểm của các cặp đường thẳng (BZ,OE),(CY,OF) và (BY,CZ). Gọi T là giao điểm của cặp đường thẳng (YZ,MN) và d là đường thẳng đi qua T và vuông góc với O4. Chứng minh rằng d đi qua trung điểm của đoạn thẳng AP.

Theo TTHN