Đề thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2024 - Ngày 2

Đề thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2024 - Ngày 2

Câu 5 (7,0 điểm)

Cho một bảng ô vuông 3kx3k (k là số nguyên dương), các ô của bảng được đánh tọa độ theo cột và hàng: ô (i; j) nằm trên cột thứ i từ trái qua phải và trên hàng thứ j từ dưới lên trên. Người ta muốn đặt 4k viên bị vào các ô của bảng, mỗi ô có không quá một viên, thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

Mỗi hàng và mỗi cột đều có ít nhất một viên bị;

Mỗi viên bị nằm cùng hàng hoặc cùng cột với ít nhất một viên bi khác.

a) Xét k=1. Có bao nhiêu cách đặt 4 viên bi vào bảng thỏa mãn các điều kiện trên?
(Hai cách đặt bi được coi là khác nhau nếu có một ô (i;j) có bi trong một cách đặt nhưng
không có bị trong cách còn lại.)

b) Xét k≥1 tổng quát. Xác định số tự nhiên N lớn nhất sao cho với mọi cách đánh dấu Nô
phân biệt trên bảng, luôn tồn tại một cách đặt 4k viên bi thỏa mãn các điều kiện trên mà không có viên bị nào đặt ở một trong Nô đã được đánh dấu.

>> Xem thêm đề thi HSG Quốc gia năm 2024 môn Toán ngày thi thứ nhất Tại đây

Theo TTHN